定理内容：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

　　证明：设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线，证明三根轴交于根心。根轴定义如下：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点；B与C的根轴L2：到B与C的切线上，所以：P到A的切线距离=P到B的切线上，所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。所以：三个根轴交于一点。

　　蒙日在皇家军事工程学院讲授画法几何学，时间长达15年。1784年由于被任命为海军学员主考官而离开该校。1795年巴黎高等师范学校成立，蒙日应邀讲授画法几何学，并辅导作业，学生有1200多名，来自全国各地，助教为著名的科学家傅立叶。讲授过程中他不断地融入自己科研的实例和理论成果，讲授内容的速记稿随后在该校校刊发表，但对外保密。同年，综合工科学校成立，蒙日将画法几何学列为该校的“革命科目”，并亲自担任教学工作。1798年由于学生们的吁请，《画法几何学》的保密令被取消，该书得以正式出版。

　　蒙日《画法几何学》的最初版本，包括5个部分，即画法几何学的目的、方法及基本问题；曲面的切平面和法线；曲面的交线；曲面相贯线作图方法在解题中的应用；双曲率曲线的曲率和曲面的曲率。在1820年出版的第4版中，人们又根据他生前的手稿，整理增加了阴影理论和透视理论两个部分。

　　蒙日的画法几何学的核心思想，就是用二维的平面图形来表示通常三维空间中的立体和其他图形。具体地说就是，首先想象两个成直角相交的平面，就像把一本书打开成90°角：一张平面水平放置，另一张垂直放置。要描画的空间图形由垂直于平面的射线分别投影到两个平面上。这样就有了空间图形的两个投影：在水平平面上的投影叫俯视图，在垂直平面上的投影叫正视图。如果必要的线个投影，叫侧视图。把垂直平面翻下来，使它和水平平面落在同一个平面（即水平平面所在的平面）上，就像把书打开平放在桌面上一样。于是，空间立体或其他图形就由两个投影描画在同一个平面上了。这样我们就有了一个作图方法，它把我们通常想象的或实在的三维空间中的东西通过同一平面上的两幅平面图形表达出来了。用平面表达立体，用二维刻画三维，这就是画法几何学的思想。

　　蒙日《画法几何学》的绘图法，主要是用二正交投影面定位的正投影法，有人称为“蒙日法”。但这种绘图法并非蒙日首创。欧洲文艺复兴时期的1525年，德国的迪勒已应用互相垂直的三画面画过人脚、人头的正投影图和剖面图。17世纪末意大利人波茨措所著《透视图与建筑》中介绍了先画物体的二正投影图，然后根据正投影图画透视图的方法。可是，这些方法的表述不是系统的，而是零散的。蒙日的最大贡献在于用“投影”（或“射影”）的观点对这些方法进行了几何的分析，从中找出规律，形成体系，使经验上升为理论；同时使作图方法也形成了体系。利用这种体系，不仅所绘图形精确了，难画的部位容易被画出了，而且可以用来图解立体的空间几何性质，由“已知通向未知”，寻求“真相”。

　　在蒙日看来，画法几何学是每一个设计人员和技术工人必须具备的一种通用语言。按照这种语言，设计人员可以把自己头脑中设想的机器部件用一张图纸上的两幅平面图形表示出来；图纸到了工厂，熟练的技术工人根据这两幅平面图形立即想象出该部件的实际形状应该是什么样子，并把它制造出来。因此，他在《画法几何学》的导言中指出，画法几何学既是使法国摆脱长期对外国工业的依赖、普及工业进步不可缺少的知识，也是利用机器减轻手工劳动、提高产品精确度的不可缺少的知识。正因为如此，《画法几何学》公开出版后便不胫而走，迅速传入各国。起初是军工学校，之后是普通理工院校相继开设了这一科目，出现了英、德、俄、日等语种的译本。画法几何学得到广泛的推广应用，对各国工业的发展起了重要的推动作用。本世纪的一位数学家评论说，没有蒙日的画法几何学，19世纪机器的大规模的出现也许是不可能的。我们人类文明的相当大一部分要归功于数学家蒙日。